¿Por qué se cree que las matemáticas pueden reducirse (o construirse a partir de, quizás me confundan con la terminología adecuada aquí) la teoría de conjuntos?

Answer 1

Hay una trágica historia de terror que a los matemáticos a veces les gusta contarse entre sí que dice algo así.

Érase una vez, un estudiante graduado estaba escribiendo una tesis sobre algunos objetos matemáticos que satisfacían algunas propiedades que él consideraba interesantes. Probó muchos teoremas interesantes sobre estos objetos y felizmente comenzó a recopilar sus resultados en una tesis. Pero cuando llegó el momento de defender su tesis, ¡uno de los miembros de su comité de tesis enseguida mostró que no había ningún objeto que satisficiera esas propiedades! En otras palabras, ¡todos esos teoremas interesantes literalmente no se aplican a ningún ejemplo!

Aparentemente, el objetivo de usar la teoría de conjuntos como base para las matemáticas es evitar que esto te suceda. Si desea estudiar objetos equipados con ciertas estructuras que tienen ciertas propiedades, y quiere asegurarse de no terminar como el tipo del que acabo de hablar, debe construir ejemplos de esos objetos y la forma estándar en que los objetos matemáticos obtienen construido está fuera de los conjuntos de alguna manera. Para creer que esto funciona, solo tiene que creer que la teoría de conjuntos es consistente.

Pero en realidad resulta que los matemáticos no reducen las cosas para establecer la teoría de esta manera en la práctica, en el sentido de que no comprueban que cada construcción que usan es una construcción permitida por, por ejemplo, Zermelo-Frankel (ZF) teoría de conjuntos. Puede pensar que trabajar en la teoría de conjuntos es como trabajar en un lenguaje de programación de muy bajo nivel, y los matemáticos generalmente prefieren trabajar en un lenguaje de programación de alto nivel porque, de lo contrario, tomaría demasiado tiempo decir algo.

Matemáticaspensamiento

Answer 2

No es.

Creo que puedo agregar un poco más:

Las matemáticas no funcionan así. En matemáticas, comienzas en un conjunto de axiomas (suposiciones sobre el mundo que vas a dar por sentado, por ahora) y comienzas a probar cosas.

Qué conjunto de axiomas no es particularmente importante. El problema es que si comienzas con un axioma como “Hay un número infinito de números primos”, te has disparado en el pie porque hay muchos términos en tu definición. Acabas de dar por sentado los términos “infinito”, “número” y “primo”. Lo cual es inútil si estás tratando de desarrollar matemáticas que tengan sentido.

Claro, una teoría que comienza con un conjunto de axiomas de alto nivel como “hay un número infinito de números primos” puede corresponder bien a las reglas del universo. Puedes desarrollar las mismas matemáticas con él. Pero es menos satisfactorio porque saltaste adelante. Alguien más descubrió que es posible comenzar con algunos axiomas simples (la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel es la opción más común) e ir desde allí. Eso es entre comillas “mejor”, aparentemente.

Pero hay otras formulaciones de matemáticas que asumen diferentes axiomas. Algunos de ellos corresponden a las mismas matemáticas: acaban de comenzar desde un “lugar” diferente en el gran paisaje matemático. Otros toman una colección diferente de axiomas que conducen a diferentes matemáticas por completo.

Answer 3

Puedo ver que estarías confundido por las respuestas que has recibido. Voy a tratar de aclarar esto respondiendo con detalles. Veamos primero la idea de “reducción a”. Luego, veremos la idea de “construcción de”.

Las motivaciones originales para la teoría de conjuntos incluían la necesidad de responder ciertas preguntas sobre los números reales, entre las cuales las más importantes son: “¿Qué es un número irracional?” Y “¿A qué nos referimos cuando usamos la expresión” conjunto infinito? ‘? ”La búsqueda de respuestas ha sido motivada por la necesidad de explicar cosas complejas en términos de cosas simples. Voy a ignorar la segunda pregunta, aquí.

A la primera pregunta, se han dado cuatro respuestas principales (puede haber otras que no conozco): 1) decimales infinitos no repetidos (o sumas infinitas de racionales no repetidos); 2) fracciones continuas infinitas, 3) secuencias de Cauchy de números racionales, y; 4) Dedekind Cortes de números racionales. Todas estas respuestas implican la definición de números irracionales en términos de expresiones que incluyen solo números racionales.

En el primer caso, por ejemplo, la razón del radio de un círculo a su diámetro = π = 3.14592… = 3 + (1/10) + (4/100) + (5/1000) + (9/10000) + (2/100000) +… Los tres puntos (puntos suspensivos) indican que podríamos seguir escribiendo indefinidamente sin repetir ninguna secuencia de números a la derecha de 3 más de un número finito de veces. π es el símbolo del número irracional expresado por el decimal, que incluye solo números racionales (no π, √2 u otros números irracionales). Este decimal, a su vez, se puede reducir a —expresado únicamente en términos de— la suma infinita de los términos racionales en este ejemplo. En matemáticas, reducir una idea a otra es definir la primera idea única y completamente en términos de la segunda. Podemos analizar √2 de la misma manera (la diagonal de una unidad cuadrada = √ (1 ^ 2 + 1 ^ 2) = √2 = 1.41421 … = obtienes la imagen).

De esta manera, los irracionales pueden reducirse a sumas infinitas de racionales. De manera análoga, los racionales se pueden reducir a proporciones de enteros. Los enteros se pueden reducir a números naturales más 0, -1 y los productos de números naturales y -1. Hasta ahora, los reales se han reducido a los enteros positivos, 0 y -1 (la unión de los naturales con los números 0 y -1).

El paso final en esta reducción es reducir los números naturales y 0 a conjuntos. Es decir, definimos 0 como un conjunto y cada uno de los números naturales como un conjunto. Así,

0 = ø,
1 = {ø, {ø}}
2 = 0 ∪ 1 = {ø, {ø, {ø}}}
3 = 0 ∪ 1 ∪ 2 = {{{{ø, {ø {ø}, {ø, {ø, {ø}}}
etc., hasta que tengamos

= 0 ∪ 1 ∪ 2 ∪ … = los números naturales (que no es un número natural).

Discutiré los reales durante mi discusión de “construcción”.

Esta reducción forma un puente conveniente a la idea de que el sistema de números real (y complejo) puede construirse de conjuntos, de hecho, solo desde el conjunto vacío. El universo tiene exactamente un elemento, ø, que no tiene elementos. ¡Todo lo demás es un conjunto! La construcción I gloss es una versión del proceso de reducción en orden inverso.

¿Cómo construimos (construimos) los números reales a partir de ø? Bueno, ya tenemos 0, 1, 2, 3,…, los naturales como conjuntos. A continuación, definimos los enteros como la unión de los naturales y los productos de los naturales y un nuevo número, -1 (que definimos como el número r tal que 1 + r = 0, (“-1” es simplemente una etiqueta ; supongamos que ya hemos definido “+” en términos de uniones de conjuntos. No compliquemos las cosas innecesariamente. Tenemos, ahora, = 1, -2, -3, … Ahora que tenemos los enteros (y hemos definido suma y multiplicación en enteros nuevamente en términos de uniones o productos cruzados de conjuntos, respectivamente), podemos definir los racionales como razones, p / q, de enteros p y q , excepto las razones con 0 en el denominador, que no son en el vocabulario de los números racionales.

Finalmente, definimos los números irracionales en términos de los números racionales. Nuestra herramienta es el corte Dedekind, una construcción de conjuntos (todos los demás números son construcciones de conjuntos también). Si examina los números naturales, verá que cada uno de ellos es la unión de sus predecesores, que cada uno de ellos es miembro de sus sucesores y que cada uno de ellos es un subconjunto de sus sucesores: 1 + 2 = 1 ∪ 2 = 3, por ejemplo. Y, 1 es miembro de 2. Estas relaciones también se mantienen entre los racionales. Es decir, 1/2 ⊆ 1 ⊆ 3/2 y 1/2 ∈ 1 ∈ 1/2. En general, cada número racional es la unión de sus predecesores . Entonces, hacemos lo mismo con los números irracionales, es decir, definimos cada número irracional como la unión de sus predecesores racionales. En otras palabras, por ejemplo, √2 = ∪ {números racionales r y r ‘tal que rr’ <2}, o, √2 es el límite superior mínimo del conjunto de sus predecesores racionales. Esta construcción se llama "Corte Dedekind" porque separa (corta) los racionales en 2 conjuntos disjuntos a cada lado del número irracional definido. En el caso de √2, √2 es el lub (límite superior mínimo) de sus predecesores racionales y el glb (límite inferior máximo) de sus sucesores racionales. Y, no está en ninguno de los dos conjuntos. Sin embargo, este conjunto satisface todas las propiedades esperadas de campo de los números reales. Puede agregarlos, multiplicarlos, están parcialmente ordenados, son lineales, existen inversas e identidades aditivas y multiplicativas, etc.

Entonces, la reducción y construcción de los números reales, por ejemplo, se refieren al mismo proceso tomado en órdenes opuestas de reales a conjuntos (reducción) o de conjuntos a reales (construcción).

Una de las cosas buenas de las matemáticas es su generalidad y abstracción. Puede aplicar estas nociones de reducción y construcción a casi cualquier circunstancia. Las tablas se reducen a árboles, que se reducen a madera, que se reduce a productos químicos, que se reducen a moléculas, que se reducen a átomos, que se reducen a partículas subatómicas. O bien, los átomos se combinan para formar moléculas, que se combinan para formar productos químicos, que se combinan para formar semillas, que forman madera, que crece en árboles. Las tablas se pueden reducir a átomos; Las tablas se pueden construir de átomos.

Espero que esto responda tu pregunta, pero no demasiado. Comprender los detalles sobre los recortes de Dedekind no es crítico para comprender (en un grado que valga la pena), la diferencia entre reducción y construcción, ya que se aplican a las matemáticas y la teoría de conjuntos. Solo los incluí para seguir siendo específicos sobre el proceso y para ilustrar la simetría de la reducción y la construcción, con la intención de ayudar a concretar esta explicación.

Answer 4

Las matemáticas comenzaron a evolucionar cuando los humanos comenzaron a contar cosas. El primer gran avance fue cuando se desarrolló un sistema de etiquetado abstracto, que ahora llamamos números naturales, para conjuntos finitos que dieron a dos conjuntos finitos la misma etiqueta abstracta (o “número”) si y solo si existía una biyección entre los dos conjuntos, es decir, si y solo si tuvieran la misma cardinalidad. Como tal, las matemáticas comenzaron con un tratamiento abstracto de conjuntos (finitos), y la tendencia ha sido mantenerlo de esa manera (con la inclusión de conjuntos infinitos también) …