¿Cuál es el método utilizado para pensar como matemático independiente? Estilo de Vida y Elegante

Gracias por A2A, Flynn. Yo, personalmente, no creo que las soluciones más rápidas, más elegantes o eficientes sean tan importantes. Siempre trato de encontrar la solución correcta, y la más rápida, la más elegante o la más bella juega un papel secundario.
Bueno, una solución clara y elegante se presenta mejor en público y requiere menos tiempo; solo esto justifica la necesidad de pulir algunos argumentos. Sin embargo, si encuentra una secuencia correcta de argumentos, en su mayoría tiene suficiente comprensión de un problema para mejorar la presentación.

Supongo que muchas soluciones de problemas de investigación reales se parecen a esta página de prueba en cr.yp. de que un número [matemático] 83 [/ matemático] es primo. Cuanto más comprende una persona en un área determinada, más probabilidades tiene de encontrar una solución elegante. Los estudiantes en clases de álgebra lineal producen soluciones largas y en su mayor parte incorrectas porque no entienden de qué se trata el álgebra lineal. En particular, se pueden deducir la mayoría de las declaraciones en un máximo de tres líneas a partir de algunos hechos importantes como la existencia de una base o una forma normal de Jordan. Lo mismo ocurre con las personas que están haciendo matemáticas en un nivel superior.

¿Estás preguntando por una mentalidad correcta? Debido a que pertenece a la esfera de la creatividad, probablemente no haya una respuesta definitiva. Solo puedo sugerir lo que podría ser útil.

Reformule un problema en los términos más simples y prácticos para que sea más accesible a su comprensión. Aclare qué se da, cuáles son los supuestos y hacia dónde se dirige.
Compruebe aproximadamente si el enunciado del problema es verdadero / probable que sea cierto en la mayoría de los casos simples.
Evaluar el nivel de dificultad de un problema. Es muy importante tener una expectativa de cuán difícil puede ser la solución que está buscando. Esto no siempre es posible. Por ejemplo, si un anónimo publica una ecuación de diofantina en Quora, puede ser tan difícil como el último teorema de Fermat y tan fácil como verificar el módulo 5. Sin embargo, para todos los problemas de examen hay un límite claro en la dificultad, y probablemente no se espera que lo haga. Proporcione una solución de 10 páginas que cubra solo un problema de 8.
Intente aplicar a un problema lo mejor de su conocimiento, los hechos más fuertes o generales.
Intente reducir un problema a una situación con la que esté familiarizado. Simplifíquelo lo más posible sin perder la generalidad. Por ejemplo, si una función es simétrica en sus variables, generalmente puede suponer [matemáticas] x_1 \ leq x_2 \ cdots \ leq x_n. [/ matemáticas] Si resuelve un problema local para una variedad múltiple o algebraica, generalmente puede reducirlo a una situación local (a un problema de cálculo o álgebra conmutativa, por ejemplo).
Use Internet / Wikipedia / libros / documentos, responda preguntas similares como fuentes para sus ideas.
Intenta localizar puntos débiles o puntos específicos para planificar y los medios de tu ataque. Por ejemplo, si una desigualdad se convierte en igualdad, tan pronto las variables son iguales, no puede usar estimaciones que no respeten este hecho.
Prepárese para renunciar a las ideas más atractivas, originales y alucinantes si no funcionan. Tuve una dificultad particular con eso. Te parece que casi lo logras, pero extrañas un poco y esperas cerrar una brecha. Por lo tanto, deja de buscar otras formas de solución.
Calcule algunos ejemplos explícitos. Odio esto, pero hay personas que fácilmente presentan buenas ideas después de calcular algunos ejemplos.
Sea crítico con los hechos que aplica y las conclusiones que saca. Pueden resultar estar equivocados. En la mayoría de los casos, no es necesario construir contraejemplos complejos para verlo.

Estas son todas más o menos estrategias de cracker de nueces. Busca vulnerabilidades, hechos que puede aplicar, sumerge su problema en un marco determinado y utiliza las herramientas adecuadas. Y no funciona, tienes que construir una nueva teoría, elaborar un nuevo lenguaje, pero este es un juego en un nivel bastante diferente.